Dead Man Walking V: Zur mathematischen Rigorosität des DMWM

Nicht jede Wissenschaft ist so vertraut mit der Methode der mathematischen Modellbildung wie die theoretische Physik. Für viele Leser dieses Blogs, insbesondere unter klassischen Ökonomen, ergeben sich daher ein paar grundsätzliche Fragen zum hier vorgestellten DMWM.

Dies sind insbesondere:

Warum macht man überhaupt eine mathematische Modellierung, welchen grundsätzlichen Vorteil hat das gegenüber qualitativen und empirischen (statistischen) Überlegungen?

Wie macht man so etwas denn sinnvoller Weise?

Warum kann denn dann irgendein Modell A, gegenüber einem anderen Modell B, einen größeren Anspruch auf Richtigkeit für sich reklamieren? Wieso taugen insbesondere das IWF 2005 Modell oder das Harrod-Domar Modell so wenig?


Nun, warum macht man mathematische Modellierungen? Es ist so, dass sich in jeder modernen Wissenschaft Experiment und Theorie gegenseitig ergänzen können und müssen. Dieser Wechselwirkungsprozess funktioniert, indem empirische Beobachtungen, das können gezielte Experimente oder eben Statistiken (wie die der DeStatis und Bundesbank) oder nur Umfragen sein. Der Erfolg solcher Experimente ist eine Kenntnis über die Wirkungen, die ein gegebenes System zeitigt. So in unserem Fall etwa die statistisch belegte Tatsache, dass der Kapitalstock i.d.R. exponentiell und bei weitem stärker wächst als das zugrunde liegende BIP, welches im Gegensatz dazu endlich in eine Stagnationsphase mündet. Oder das mit dem Wachsen des Kapitalstockes einerseits natürlich der (nominale) Reichtum zunimmt, aber im praktischen Gleichschritt auch die Armut. Zufall oder Regel?

An diesem Punkt setzt Theoriebildung ein. Denn wenn man aufgrund der Daten zu einer Idee über die zugrunde liegenden Ursachen kommt, dann lässt sich so etwas relativ einfach in eine Differentialgleichung formulieren, die dann nur noch integriert werden muss. Im Idealfall gelingt das auch analytisch, in sehr vielen Fällen muss man aber numerisch integrieren, was praktisch immer geht. Außer bei so komplexen Modellen, wie etwa Klimamodellen, die auch heute noch die Rechenpower selbst der modernsten Rechner überfordern.

Der Vorteil der Theoriebildung ist genau diese Rückführung eines Systems auf seine elementaren Ursachen. Denn erst wenn man die genügend verstanden hat, kann man wirksame Maßnahmen an den Wurzeln des Übels ansetzen, anstatt immer nur an den Symptomen herum doktern zu müssen. Hinzu kommt noch die Erfahrung aus vielen naturwissenschaftlichen Problemen, dass ausgesprochen komplexe Systeme meist aus der Kombination ganz weniger und meist simpler Ursachen folgen (so genannte Emergenz). Das macht die Theoriebildung eben so stark. Insbesondere entwickeln sich aus der dann möglichen mathematisch stringenten analytischen Betrachtung neue Zusammenhänge, die wiederum durch Experimente verifiziert, oder falsifiziert, werden können und müssen. Und dann beginnt das Karussell von neuem, bis, möglichst alles, stimmig ist.

Nun, wie macht man so etwas in rigoroser Weise? Das ist leider an den Unis, so meine Erfahrung, kein so gängiges Thema. Auch gerade bei theoretischen Physikern, die wie keine andere Naturwissenschaftler gründlich auf mathematische Modellbildung getrimmt sind, wird das zwar in allen Variation durchgekaut, aber letztlich doch häufig der Intuition, der Übung und praktischen Erfahrung überlassen. So stellt man Modelle schnell "aus dem Bauch heraus" auf, da man einfach im Urin hat, wie das am besten funktioniert. So habe ich es beim DMWModell natürlich auch erstmal gemacht.

Zur tieferen Begründung des DMWM, und im Besonderen auch als Ideensteinbruch für junge Ökonomen, schreibe ich nun diesen Beitrag zum Verständnis der Methodik und als Aufruf zur Weiterentwicklung durch interessierte Ökonomen. Denn da ist, wie wir sehen werden, noch viel Luft nach oben drin. Das Folgende setzt aber einiges an mathematischen Grundverständnis voraus: Wer sich als Natur- oder Ingenieurwissenschaftler mit solchen Modellierungen regelmäßig auseinander setzt kennt diese. Ökonomie ist im Grundsatz eigentlich ebenfalls eine Ingenieurswissenschaft, sie wird allerdings oft mehr in der philosophischen Ecke angesiedelt bzw. sie bildet gar eine eigene Zwitter-Fakultät (WiSo-Fakultät), was der Sache allerdings weniger gerecht wird und viele aktuell augenfällig gewordene Mängel erklärt.

Nun, welche grundsätzlichen Ansprüche stelle ich an ein mathematisches Modell (Theorie)?

Erstens: Es muss natürlich das im Experiment (Statistik) tatsächlich beobachtete Verhalten mit ausreichender Genauigkeit wiedergeben. Und zwar nach Möglichkeit global, das heißt über den gesamten Verlauf des Systems, und nicht nur lokal (d.h. nur für einen kleineren Bereich).

Zweitens: Es muss Konsistenzbetrachtungen stand halten. So etwa sollten Erhaltungsgrößen auch erhalten bleiben. Das drückst sich in so genannten Kontinuitätsgleichungen aus.

Drittens: Im ersten Ansatz sind wir natürlich mit einer nur globalen Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment schon zufrieden, ohne gleich jedes Detail erklären zu wollen (wissenschaftlich ökonomisches Handeln: erstmal das Grobe, der Feinschliff kommt später). Im Idealfall, einer Kascade der wechselseitigen Beeinflussung zwischen Theorie und Experiment, stimmen aber am Schluss die theoretischen und gemessenen Werte praktisch überein, denn jedes gute Modell lässt sich durch hinzufügen weitere Einflussgrößen (Ursachen) bzw. Anpassungen verbessern (Wirkungserklärung). Also für den Anfang gilt immer: So einfach wie möglich. Aber nicht einfacher! (Denn Letzteres führt direkt zu singulären und inhaltsleeren Gleichungen).

Viertens: Mathematisch nicht so hauptsächlich aber wichtig ist, dass die behaupteten Ursachen begründbar und nachvollziehbar sein sollten ("gesunder Menschenverstand"). Und natürlich muss es mathematisch (physikalisch) sauber sein, aber dass ist eigentlich nicht mehr als eine Selbstverständlichkeit (eine notwendige, aber keineswegs hinreichende Bedingung).

Kommen wir also zu unserem speziellen Problem: Gesucht ist eine Lösung für den Zusammenhang zwischen Kapitalstock (Aktiva bzw. Passiva, K(t) ) und dem Bruttoinlandsprodukt (BIP, Y(t) ) im zeitlichen Verlauf einer Volkswirtschaft.

Das es einen Zusammenhang zwischen Kapitalstock und BIP gibt, ist ganz offensichtlich und ist auch allgemein akzeptiert. Nur, wie sieht er konkret aus?

Die „aus dem Bauch“-Modellierung sieht so aus: Ich habe eine vernünftige Idee über die Ursachen (Änderungsraten df/dt), und dann schreibe ich die einfach mal als Differentialgleichung (DGL), bzw. da wir die Abhängigkeit zweier Größen suchen, als Differentialgleichungssystem (DGLS) hin. Außerdem probiere ich erstmal einen linearen Ansatz, weil der einfacher ist und erfahrungsgemäß oft schon die Lösung bringt. Dann teste ich die Lösung auf Konsistenz, wenn’s geklappt hat ist es o.k., wenn nicht, muss ich halt was an meinem Ansatz ändern, in dem ich mir etwa noch mal tiefere Gedanken über die Ursachen mache.

Aber man kann das auch mathematisch rigoroser formulieren: Zunächst haben wir zwei Funktionen, die gesucht werden. Die Änderungsraten d/dt der Funktionen linkerseits sind die Wirkungen, die Funktionen auf der rechten Seiten die dafür (mutmasslich) verantwortlichen Ursachen.

dY/dt= F(t,Y(t),K(t),pi(t)...) und dK/dt= G(t,Y(t),K(t),qi(t)...)

Die Funktionen F und G sind, falls man keine Superidee hat, natürlich zunächst völlig unbekannt. Sicher ist nur, dass sie von der Zeit t, als auch jeweils von der anderen Einflussgröße Y(t) und/oder K(t) abhängig sein müssen. Dazu kommen noch weitere Parameter, nämlich die, eventuell zeitabhängigen Funktionen pijkl(t) und qijkl(t), das können Prozentsätze oder was auch immer für Parameter sein. Aijkl und Bijkl sind einfache Konstanten.

Nun kann man aber einen mathematischen Trick machen, der bei jeder anständig analytischen Funktion gut fluppt: Nämlich eine Darstellung als Taylorreihe:

dY/dt= Sum ( Aijkl pijkl(t) Y^(i)j K^(k)l, …)
dK/dt= Sum ( Bijkl qijkl(t) Y^(i)j K^(k)l, …)

Das geniale an der Taylorentwicklung ist, dass sich jede unendlich differenzierbare Funktion durch eine Reihe von konvergierenden Approximationen ersetzen lässt. So weit so gut, aber nun kann man erstmal die führenden linearen Terme nutzen. Die höher gradigen Terme spielen nämlich rund um den Entwicklungspunkt nur eine kleine oder gar keine Rolle (Aijkl bzw. Bijkl =0). Aus diesem wohl begründeten Fakt heraus, darf ich tatsächlich erstmal einen einfachen linearen Ansatz probieren. Der ist nämlich mindestens lokal, und wenn ich Glück habe, auch sogar global gültig. Also jetzt nur die führenden Terme der Taylorentwicklung:

dY/dt= A000*p0000 + A0100*p0100*Y + A0001*p0001*K + …..
dK/dt= B000*q0000 + B0100*q0100*Y + B0001*q0001*K + …..

Das ist also die erste Stufe der Vereinfachung, denn Terme wie p0101*Y*K oder p0204Y^2*K^4 oder p2201*d2Y/dt2*K etc. pp. fallen erstmal weg, weil sie zumindest lokal, d.h. zumindest auf einem sehr engen Bereich Delta-t, keine Rolle spielen.

Als nächste Stufe sinnvoller Vereinfachungen ziehen wir die Aijkl und Bijkl einfach in die Parameterfunktionen pijkl und qijkl rein, und schreiben also:

dY/dt= y0 + p1*Y + p2*K
dK/dt= k0 + p3*Y + p4*K


Dies ist nun das allgemeinste lineare Modell (*). Hier muss nun die, ökonomisch begründete, Diskussion über den Sinn und die Ausgestaltung der Parameterfunktionen y0,k0,p1,p2,p3,p4 (t) einsetzen. Diese Funktionen sind im allgemeinen Funktionen der Zeit, ggf. aber sind es Pseudo-Konstanten (also so gut wie konstant), oder gar Konstanten, insbesondere können sie auch identisch Null sein.

In die nächsten Überlegungen fließen nun ökonomische und mathematische Konsistenzbetrachtungen ein. Also überlegen wir uns, was die Parameter y0,k0,p1,p2,p3,p4 für eine Bedeutung haben. Die Parameter y0 und k0 ergeben keinen großen Sinn, denn ihre Bedeutung wäre ein sowohl von Y als auch von K völlig unabhängiges Wachstum. Hier könnte man ggf. aber mit der Wirkung von Schattenwirtschaften, wie Tauschhandel oder Falschgelddruckerei Sinn hinein definieren. In einer einigermaßen rechtschaffenden Gesellschaft können wir sie mit gutem Recht zu Null setzen, da sie vermutlich eine nur geringe Rolle spielen:

dY/dt= p1*Y + p2*K
dK/dt= p3*Y + p4*K

Bleiben noch die Parameterfunktionen p1 bis p4. Fangen wir mit erster Gleichung an. Wann wächst die Volkswirtschaft, ohne Kapitaleinsatz, aus sich selbst? Nun ja, wenn man sich ganz lieb hat. Nämlich durch das Bevölkerungswachstum. Zumindest für die BRD kann man das aber gegen das BIP-Wachstum durch Kapitaleinsatz vernachlässigen, denn die Bevölkerung ist in den Nachkriegsjahren bis heute erstaunlich stabil gewesen. Anders in typischen Einwanderungsländern, wie der USA, wo die Zuwanderung das natürliche Wachstum überwiegt. Man kann also p1=0 setzen. Muss man aber nicht, man kann eine geeignete Formulierung von p1(t) auch nutzen, um den Effekt des Bevölkerungswachstums der arbeitenden Bevölkerung auf das BIP zu studieren. Aber hier jetzt:

dY/dt= p2*K
dK/dt= p3*Y + p4*K

Aus Konsistenzgründen sollte nun p2=-p4 sein, denn das Kapital wächst durch Verzinsung aus dem BIP. Neben der Verzinsung aus Investitionen wächst es natürlich auch noch durch die Spareinlagen aus den Einkommen aus dem BIP, ergo ist p3=ps, die Sparquote, in der Ökonomie oft mit S(=ps*Y) bezeichnet. Die Sparquote wiederum ist eine Pseudokonstante, denn die deutsche Sparquote ist langjährige kaum verschieden von um die 10%, somit ps(t)=ps=const. Damit ist man fast fertig:

dY/dt= -pn(t)*K
dK/dt= ps*Y + pn(t)*K

In die konkrete Formulierung von pn(t) (im IWF Modell Buchstabe g) wiederum benötigt eine Annahme über das Verhältnis von Investitionen in die Realwirtschaft zu den Eigengeschäften des Finanzsystems. Mit

pn(t)= pv – pr(t) := pv – pv*a*exp(-(t-T)/T)/e

habe ich jetzt lediglich eine einfache Verlaufsform eingesetzt, die von der empirisch belegten Aussage ausgeht, dass mit der Zeit und exponentiell steigenden Kapitalstöcken das BIP nicht mehr genügend ertragreiche Renditequellen besitzt, so dass der Eigenhandel, d.h. das Investmentbanking, stetig zunimmt. Statt dessen kann man hier natürlich auch aus den statistischen Daten die tatsächliche Verteilung zwischen Realwirtschafts- und Investmentanteilen heraus kitzeln und in das Modell anstelle von obiger Formel investieren.

An dieser Stelle muss man aber zugeben, dass es durchaus verschiedene Möglichkeiten gibt, die Funktionen p2 bis p4 zu gestalten. So wollen klassische Ökonomen die Gleichheit von p2=-p4 nicht gerne einsehen. Denn die klassische Ansicht ist, dass in p2 nur die Menge des in die Realwirtschaft unmittelbar investierte Kapital einfließt, das Geschäft aus dem Interbankenhandel mit Derivaten und Wetten etc. pp. dagegen nicht. Ergo, sollte der Betrag von |p4|>>|p2| deutlich größer als der von p2 sein können, was den negativen Effekt von zuviel Kapital deutlich entschärfen würde. Dem ist allerdings entgegen zu halten, das auch beim Bankeneigenhandel der Gewinn immer aus dem BIP kommen muss. Denn irgendwer muss am Schluss der Kette von Verkäufern und Käufern die Papiere bezahlen. Und der letzte in der Kette entzieht dabei dem BIP Kapital, wenigstens um den Betrag den er demjenigen drauflegen muss, der ihm die Papiere mit Gewinn verkauft. Die Zinsen also. Und das Geld gibt er dann nicht mehr für ein neues Auto aus, sondern legt sich die Lehman-Zertifikate in den Tresor. Oder eine Firma, die ihre Gewinne in solche Papiere anlegt, anstatt neue Maschinen zu kaufen oder Leute einzustellen, weil sie sich höhere Gewinne mit Ami-Schulden versprechen.

Andererseits: Probieren Sie’s aus und setzen sie andere Funktionen ein. Dafür sind solche Modelle ja gerade da. Und dann schauen Sie, ob die reale Entwicklung des Systems besser oder schlechter approximiert wird.



Und, schauen Sie, ob das System dann immer noch konsistent ist! Denn so eine Kontinuitätsgleichung stellt die so genannte Quantitätstheorie der Ökonomie M*v=x*P dar.
Und die ist im Dead Man Walking Modell tatsächlich erfüllt, der Quotient Mv/xP=1 ist nämlich eine Erhaltungsgröße der Ökonomie und sie bleibt tatsächlich die ganze Zeit konstant (blaue Kurve) und läuft erst aus dem Ruder, wenn das System schließlich kollabiert. Die sehr geringfügigen Abweichungen resultieren aus der Tatsache, dass das DMWM numerisch mit einer Excelltabelle integriert wurde, was immer zu leichten Rundungsfehlern führt.

Vergleichen Sie bitte auch den aus dem DMWM resultierenden Verlauf der Umlaufgeschwindigkeit (gelbe Kurve) mit den Aussagen der Wikipedia zum empirischen Geldumlauf: „...Damit eine Volkswirtschaft störungsfrei funktioniert, muss die Umlaufgeschwindigkeit des Geldes möglichst konstant sein. Tatsächlich aber sinkt die Umlaufgeschwindigkeit in Deutschland seit 1981 stetig...“, Auch im DMWM fällt die Umlaufgeschwindigkeit seit den 1980er Jahren. Und weiter: „...Für V2 wurde für eine Reihe von OECD-Ländern ein langfristig U-förmiger Verlauf nachgewiesen...“. Nun, das ist genau der qualitative Verlauf wie im DMWM.


Eine tiefere Begründung erhält die alte Ökonomenweisheit Mv/xP=1 auch durch einen Vergleich mit physikalischen Problemen. Denn, schaun wir mal:

dr/dt+div j = 0

Das ist eine normale Kontinuitätsgleichung, wie wir sie aus der Physik kennen. D.h. in diesem Falle, dass die Quelle für einen Strom j die Ladungen r sind. Und, es bedeutet, dass die Ladung eine Erhaltungsgröße ist. Das gilt in allen Systemen mit Erhaltungsgrößen. Man kann die Gleichung auch als Vierer-Vektor schreiben:

Div (j,r) =0

Die Vierer Divergenz ist Div(j,r):= (d/dx,d/dy,d/dz,d/dt)*(jx,jy,jz,r) = (ve * j + dr/dt) =0, mit ve:=Einheitsgeschwindigkeit.

In der Ökonomie gilt nun

vM-xP=0.

Die Einheiten sind für M und P jeweils Euro, für v und p sind es Ereignisse 1/Jahr. Umgeschrieben in so einen Vierervektor steht nun da:

Div(M,-P)=0

Es handelt sich daher bei der Quantitätstheorie genau um die Kontinuitätsgleichung, wie wir sie aus der Physik für elektrische Ströme Div(j,r)=0 kennen, wobei es sich hier aber um Geldströme handelt. Wobei die Preise die Funktion einer (Ladungsquelle) haben. Anders ausgedrückt Die Preise (der Konsum) sind die Quelle der Geldströme (Vermögen). Wer hätte das geahnt...genauer ausgedrückt: Da steht minus P, wobei P das Preisniveau ist. Ergo steigt das Preisniveau (Inflation) so schädigt das die Vermögen, sinkt es (Deflation) stärkt es die Vermögen und schädigt natürlich das BIP.

(Ergänzung 05.10.: Wie man an obigem Plot (blaue Kurve) sieht, geht die Quellfreiheit des Systems in der endlichen Krisenphase verloren. Dies liegt natürlich daran, dass am Ende des Systems extrem viel Kapital ins System eingespeist wird. So drucken ja inzwischen alle westlichen Zentralbanken fleißig Geld. Das wirklich interessante ist aber nun: Der Verlust der Quellfreiheit ist systemimmanent. Sie geht am Ende wegen des exponentiellen Zinseszinseffekt auf jeden Fall verloren. Entweder müssen immer mehr Leute immer wackeligere Papiere kaufen, und wenn die es nicht tun, dann muss der Staat das Zeugs übernehmen, damit das System nicht kollabiert. Und weiter kann man sehen: Wegen Div(M,-P)=0 kriegt man das System nur dann wieder quellfrei, wenn man das Preisniveau P entsprechend kräftig erhöht, also inflationiert. Was Politik und Finanzwesen zur Zeit also unternehmen, ist nur der Zwangsläufigkeit des Systems geschuldet. Wobei man hofft, der letzten Konsequenz der Inflation und Hyperinflation zu entgehen. Nur, die Hoffnung darf man sich abschminken, irgendwann stellt sich das System wieder quellfrei. Was Formeln leider nicht aussagen können ist, ob dies einigermaßen schmerzfrei oder im Chaos enden wird.)

Natürlich kommen solche Analogien zwischen Physik und Ökonomie nicht von ungefähr, denn die Mathematik und die theoretische Physik beschäftigt sich mit Strukturen. Ob Ladungs- oder Geldströme, es macht keinen Unterschied, Namen sind Schall und Rauch. Die Strukturen sind maßgeblich. Und die Makroökonomie ist eine typische mechanische Struktur von Strömen und Quellen.

Hier sei noch zu bemerken, dass die hier beschriebene Methodik und das DMWM natürlich noch erweiterbar sind, durch die Hinzunahme weiterer Einflussgrößen, insbesondere von Außenhandelsungleichgewichten. Das geht recht einfach durch einen weiteren Kopplungsparameter an die Nachbarökonomie. Weitere Varianten sind das Testen von Ökonomien, die auf Investmentbanking verzichten oder die andere Geldsysteme besitzen etc. pp. Natürlich wird das dann immer komplexer und ist nur mit viel Numerik zu erschlagen.

Somit kommen wir abschließende zu der Frage, warum ein Modell A besser oder schlechter als Modell B ist? Die Antwort erschließt sich aus oben gesagten. Die Nagelprobe ist immer die Frage, das heißt der Test, ob die Realität global und mit vertretbarer Genauigkeit wieder gegeben wird, und ob das System insgesamt, sowohl mathematisch als argumentativ bzgl. der Ursachen, konsistent ist.

Das IWF Modell hatten wir hier bereits im Fokus, es ist schlichtweg singulär und sinnfrei. Ein Vergleich mit dem allgemeinsten linearen Modell (*) zeigt nun die Abstrusität deutlich: Erstens enthalten die Gleichungen (1’) dY/dt = g*Y (2’) dI/dt = g*I (3’) dK/dt = g*K keinerlei gegenseitige Abhängigkeiten, was schon ein Ausschlusskriterium ist, und zweitens setzt man faktisch die Rate der arbeitenden Bevölkerungsentwicklung gleich mit der Rate des exponentiellen Wachstums g des Kapitalstockes. Anders gesagt: Damit die Folgerungen des IWF’s annähernd aufgehen, müssten wir heute den Faktor 3,25/0,4 * Einwohnerzahl 1950 an Bevölkerung haben, also etwa 560 Millionen, statt 81. Und die müssten auch noch eine Beschäftigungsquote wie in den Wirtschaftswunderzeiten haben.

Kommen wir noch zum Harrod-Domar Modell. Nun, das Modell bringt so widersprüchliche Ergebnisse, dass es zu Recht keine große Anerkennung gefunden hat. Dito eine Reihe vergleichbarer Systeme. In Bezug auf unser allgemeines System sieht man den Fehler wieder bei den Grundgleichungen: So beginnt die Herleitung mit dY/dt = 1/v * dK/dt. Mathematisch hat er also erstmal alle linearen Terme zu Null gesetzt. 1/v ist eine Konstante, entsprechend p0011. So was könnte man machen, wenn man vorher die eigentlich führenden Terme schlüssig weg diskutiert hätte. Hat er aber nicht, sondern nur eine schwammige Vermutung genommen und die empirisch nicht belegbaren Effekte ignoriert. Zwar ist hier Y=Y(K) schon mal abhängig formuliert, o.k., aber was steht denn da: Das BIP wächst gleichförmig mit dem Kapitalstock. Kurz um: Hier wird die Behauptung zur Voraussetzung der dann folgenden Ableitungen gemacht.

Naja, wie sagte Meister Einstein anno dazumals: Der Kern des Wissenschaftlers ist, dass er sich noch wundern kann.